ОСНОВИ АЕРОДИНАМІКИ ТА ДИНАМІКИ ПОЛЬОТУ

частина І

АЕРОГІДРОГАЗОДИНАМІКА

Електронний посібник

ГОЛОВНА	ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ	АНОТАЦІЯ
ДОДАТКИ	СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ	УКЛАДАЧІ

1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ДОЗВУКОВОЇ ТА НАДЗВУКОВОЇ АЕРОГІДРОГАЗОДИНАМІКИ

1.2. Основи кінематики і динаміки рідини і газів

1.2.1. Поняття про потік рідини і газів, види руху і основні їх властивості

1.2.2. Теоретичні моделі моделювання обтікання твердих тіл. Фізична картина обтікання твердих тіл рідиною і газом

1.2.3. Рівняння стану і нерозривності потоку рідини і газу

1.2.4. Рівняння збереження і балансу енергії рухомого газового потоку. Практичне використання основних рівнянь аерогідрогазодинаміки

1.2.1. Поняття про потік рідини і газів, види руху і основні їх властивості

Місце теорії у вивченні навколишнього середовища

Аерогідрогазодинаміка як наука вивчає явища, пов'язані з рухом рідини і газу. Вивчення законів руху рідини і газу, їх взаємодії з твердими тілами можливо на основі теоретичних знань.

Яка ж роль теорії в пізнанні навколишнього середовища?

По-перше, теорія повинна об'єднувати сукупність явищ, приводячи їх до деякого простішого вигляду, який дозволяє застосування математичного методу досліджень.

По-друге, теорія дає можливість проводити різні практичні розрахунки і визначати, наприклад, раціональні форми, компонування і розміри сучасних ЛА, а також призначення і склад авіаційного обладнання і озброєння.

По-третє, правильна теорія відображає об'єктивну істину і тому її розвиток може передбачати нові явища, які ще невідомі, незнайомі і не вивчені.

Коротка характеристика розвитку теорії пізнання істини

Спочатку з'явилася теорія Ісаака Ньютона, яка розглядала середовище як дискретну структуру, що складається з окремих частинок рідини чи газу, не зв'язаних між собою, так званих «корпускулів».

Потім теорію доповнив Л. Ейлер, який запропонував розглядати середовище суцільною ідеальною рідиною, позбавленою в'язкості і стисливості, здатною передавати тільки нормальний тиск на поверхні обтічного тіла. Ця теорія дозволяла скласти систему диференційних рівнянь і визначати швидкості і тиск у будь-якій точці потоку рідини.

Пізніше з'явилася теорія про в'язке середовище, запропонована Л. Прандтлем, яка дозволила враховувати сили тертя, викликані властивістю в'язкості і створити теорію примежового шару.

В середині 20 століття з'явилася нова теорія – теорія газів, яка була розроблена не на основі корпускулярної теорії Ньютона, а на основі теорії надшвидкісного руху окремих частинок матерії, що пружно вдаряються одна в одну чи в поверхню відповідно до кінетичної-молекулярної теорії газів.

Таким чином, теорія пізнання фізичних явищ і природи не стоїть на місці, а постійно розвивається, удосконалюється і збагачується.

Поняття про потік рідини і газу

Потоком рідини і газу називається спрямоване переміщення частинок маси речовини в просторі з певними швидкостями і в заданому напрямку.

	Розрізняють усталені і неусталені потоки.
Усталеним потоком називається такий потік, в якому напрямок і величина швидкостей частинок рідини і газу, а також фізичних параметрів стану середовища (, з часом не змінюються. Такий потік носить назву стаціонарний потік, математичний запис V = f (x, y, z).
Неусталеним потоком називається такий потік, в якому напрямок і величина швидкостей частинок рідини і газу, а також фізичні параметри стану середовища (з часом змінюються. Такий потік носить назву нестаціонарний потік, математичний запис V = f (x, y, z, t).

Види руху рідини і газу

Рух рідини характеризується напрямком і швидкістю частинок рідини в окремих точках потоку, загальною формою і фізичними параметрами потоку. Спостерігаючи за рухом частинок, можна переконатися, що швидкість руху в різні моменти часу і в різних точках потоку можуть сильно відрізнятися. При цьому методи спостереження за рухом частинок потоку рідини можуть бути різними.

В науці відомі два основних методи вивчення руху частинок рідини і реєстрації параметрів середовища: методи Лагранжа і Ейлера.

За першим методом (методом Лагранжа) можна вибрати в масі рідини, що рухається в потоці, одну якусь частинку і, рухаючись разом з нею, спостерігати за її швидкістю в різних точках траєкторії і вимірювати всі параметри стану рухомого середовища (рис. 23).

Рис. 23. Схема спостерігання за параметрами потоку

за методом Лагранжа

За другим методом (методом Л. Ейлера) можна вибрати одну якусь точку поруч з потоком і, залишаючись нерухомим, спостерігати за швидкостями різних частинок рідини, які протікають повз цю точку, і вимірювати параметри стану рухомого середовища (рис. 24).

Рис. 24. Схема спостерігання за параметрами потоку

за методом Леонарда Ейлера

Застосування методу Л. Ейлера спрощує дослідження обтікання тіл на підставі вивчення законів руху рідин і газів відносно нерухомої точки і дозволяє використовувати простіший апарат математичного моделювання та аналізу.

Крім цього, в рідині поряд з поступальним рухом можливі і обертальні рухи частинок. Потік, в якому частинки рідини або газу обертаються навколо свого центру мас (або геометричного центру) з деякою кутовою швидкістю (), називається вихровим. Кутова швидкість обертання частинок рідини чи газу має місце там, де є градієнт швидкості по товщині течії потоку.

Таким чином, в загальному випадку рух рідини і газу включає в себе: прямолінійний рух, обертальний рух, деформацію частинок потоку і їх хаотичний рух по перерізу потоку рідини.

Прямолінійний рівномірний рух рідини і газів

Розглянемо виникнення швидкостей і прискорень під час дослідження прямолінійного рівномірного руху рідини за методом Л. Ейлера (рис. 25).

Визначимо в певний момент часу (t) невеличку частинку, яка знаходиться в _т.А з координатами (x, y, z). В момент часу (t + ) точка переміститься в _т.В і координати змінюються (x + . Можна записати і складові швидкості частинок по осях оx; oy; oz.

Рис. 25. Схема просторового переміщення частинок рідини

Визначивши швидкості в довільній точці простору, можна зробити висновок, що їх можна виразити у вигляді функції координат і часу (метод Ейлера).

При переміщенні з _т.А в _т.В змінюються координати частинок рідини і газу протягом деякого часу (t), а отже, змінюються їх швидкості і прискорення, і, як наслідок, це призведе до зміни інших фізичних параметрів

	Розділимо обидві частини рівняння на dt і отримаємо:

	Аналогічно отримаємо рівняння зміни інших параметрів стану повітря:

	У разі сталого потоку у фіксованих перерізах параметри стану повітря з часом не змінюються:

За усталеного руху потоку швидкість, тиск і густина є лише функціями координат точки. Це означає, що через цю точку простору всі частинки потоку проходять з однаковою швидкістю.

Потік рідини і газу характеризується певними поняттями і визначеннями, які використовуються в аерогідрогазодинаміці.

Траєкторія

Траєкторія – геометричне місце точок простору, через які послідовно проходить матеріальна точка під час руху, або уявна крива, яку описує точкове тіло під час руху (рис. 26).

Рис. 26. Схема траєкторії частинок рідини

Лінія струменю

Лінією струменю називається лінія, проведена в потоці рідини, в кожній точці якої в певний момент часу вектор швидкості руху частинок збігається з напрямком дотичної до цієї лінії (рис. 27).

Рис. 27. Схема лінії струменю

Трубка току

Трубкою току називається об'ємна поверхня, яка утворюється лініями струменів, що проходять через деякий нескінченно малий замкнений контур (рис. 28).

Рис. 28. Схема трубки току

Струминка

Струминкою називається частина потоку рідини, що рухається всередині трубки току. Через бічну поверхню трубки току відсутня витрата рідини.

Якщо течія усталена, то конфігурація ліній струминок не змінюється з часом і в цьому випадку лінії струминок збігаються з траєкторією. В усталеному потоці трубка току зберігає незмінне положення в просторі.

Картину, що показує розподіл ліній струминок навколо обтічного тіла, називають спектром обтікання цього тіла. Щоб отримати спектр обтікання дослідним шляхом, необхідно зробити видимим рух частинок рідини в потоці. Цього можна досягти введенням в потік газу струминок диму або тонких шовкових ниток, а в потік рідини вводять підфарбовані рідини або використовують інші методи візуалізації потоку (рис. 29).

Плавна течія, ламінарна структура потоку.	Змінна течія, ламінарна течія до т.М I т.N I далі турбулентна структура потоку.
Рис. 29. Схема спектрів обтікання твердих тіл потоком повітря

Поняття про обертальний рух рідини і газу

Іноді рідина приходить в обертальний рух, який називається вихровим рухом подібно до того, як рухається вода в річкових вирах. Умови для появи вихору створюються, наприклад, за обтікання тіл з гострими поперечними ребрами або затупленим заднім краєм. У таких випадках струминки не можуть різко під кутом змінювати напрямок свого руху, тому з них підсмоктується в застійні зони рідини частина потоку, з якого формуються вихори, що зриваються з гострих кромок або областей різкої зміни напрямку руху, які зносяться потоком.

Потік рідини (газу), в якому частинки обертаються навколо свого центру мас з деякою кутовою швидкістю (), називається вихровим.

Для теоретичних міркувань щодо впливу вихорів використовуються основні поняття і визначення руху вихрового потоку.

1. Кутові швидкості обертання

У загальному випадку частинка газу рухається, переміщається прямолінійно, обертається навколо своєї осі і деформується. Розглядаючи рух і обертання елементарної частинки з урахуванням деформації можна отримати розрахункові формули для визначення кутової швидкості

Розкриваючи матрицю, можна отримати розрахункові формули для визначення кутової швидкості в проєкціях на осі координат.

Кутова швидкість обертання частинок рідини має місце там, де є градієнт швидкості течії по перерізу потоку рідини.

2. Вихрова лінія, вихрова трубка, вихровий шнур

2.1. Вихровою лінією називається лінія, в кожній точці якої в даний момент часу (t), вектор кутової швидкості обертання частинок рідини спрямований по дотичній до неї (рис. 30).

Рис. 30. Схема вихрової лінії

Якщо через всі крапки замкненого контуру поперечного перерізу вихору провести вихрові лінії, то отримаємо поверхню, що називається вихровою трубкою.

2.2. Вихровою трубкою називається об'ємна поверхня, яка утворена вихровими лініями, що проходять через деякий нескінченно малий контур в просторі. Всередині вихрової трубки частинки здійснюють обертально-поступальний рух. Ці частинки утворюють вихровий шнур (рис. 31).

2.3. Вихровим шнуром називається частина потоку рідини, що рухається всередині вихрової трубки.

Нескінченно тонкий вихровий шнур в аеродинаміці називається вихровою ниткою.

На практиці вихрові шнури мають місце за перетікання повітря на кінцях консолей крила з нижньої поверхні на верхню, а саме – здійснюється перетікання повітря з області високого тиску під крилом в область низького тиску над крилом (рис. 32). Крім цього, вихровий рух виникає за обтікання виступаючих в потоці твердих тіл з гострими краями.

	Вихрова трубка – це об’ємна поверхня утворена вихровими лініями які проходять через деякий нескінченно малий замкнутий контур.
Рис. 31. Схема вихрової трубки току

Рис. 32. Схема утворення вихрового сліду за крилом

1.2.2. Теоретичні моделі моделювання обтікання тіл потоком рідини і газу. Фізична картина обтікання твердих тіл рідиною і газом

Реальні явища природи дуже складні і недоступні для суворого теоретичного аналізу. Тому для побудови теорії того чи іншого явища доводиться схематизувати дійсність і брати в якості об'єкта вивчення не реальне явище, а його спрощену фізичну модель. У теоретичній аеродинаміці протягом її розвитку було прийнято цілу низку моделей обтікання твердих тіл потоком повітря.

1. Перша модель (модель корпускулярної будови середовища) була запропонована Ісааком Ньютоном (рис. 33). У цьому випадку рідина розглядається як середовище, що складається з окремих, не пов'язаних між собою, частинок – корпускул, які під час взаємодії з тілом повністю втрачають свою кінетичну енергію, прилипають до нього і віддають тілу енергію у вигляді потенційної енергії сил тиску, інші частинки проходять повз обтічне тіло і утворюють застійну зону, в якій швидкості частинок дорівнюють нулю.

Рис. 33. Схема корпускулярної моделі обтікання

Така модель має великий недолік, тому що не розглядає обтікання тіл і допускає велику похибку під час розрахунку сили опору в повітряному потоці великої густини. Вона може бути застосована для розгляду явищ обтікання твердих тіл в розрідженому середовищі.

2. Друга модель (модель ідеальної рідини). За такої моделі, потік рідини, що обтікає тверде тіло, вважається суцільним середовищем, позбавленим властивостей в'язкості і стисливості. Математичне дослідження цієї моделі призвело до складання 3-х диференціальних рівнянь руху рідини, вирішення яких дає можливість визначення швидкостей (V) і тисків (p) в будь-якій точці потоку, що обтікає тіла.

	Друга модель – модель «ідеальної рідини» (модель Л. Ейлера) – моделює суцільне середовище, не в’язке і не стисливе:

3. Третя модель (модель стисливої рідини). На базі цієї моделі була створена наукова школа газової динаміки, що вивчає закони руху тіл у повітрі і газах з великими швидкостями і за високих температур, при яких необхідно враховувати стисливість.

	Третя модель – модель стисливої рідини (модель С. А. Чаплигіна). Газова динаміка: рух газу з великими швидкостями і за високих температур:

4. Четверта модель (модель в'язкої рідини). Ця модель запропонована Л. Прандтлем, який розробив теорію примежового шару і розкрив причину виникнення сили тертя, викликаної властивістю в'язкості (рис. 34).

Рис. 34. Схема корпускулярної моделі обтікання

5. П'ята модель (модель плазмового стану середовища), що виникає навколо тіла, яке рухається з гіперзвуковою швидкістю. Плазма є середовищем, що складається з суміші електрично заряджених і нейтральних частинок. Середовище, подібне плазмі, має місце під час входу космічних об'єктів в щільні шари атмосфери землі.

Модель плазмового середовища – високотемпературне газове середовище, яке складається з суміші електрозаряджених і нейтральних частинок.

Картину, яка показує розподіл траєкторій повітряних струминок потоку навколо обтічного тіла, називають спектром обтікання цього тіла (рис. 35). Щоб отримати спектри дослідним шляхом, необхідно зробити видимим рух частинок потоку. Це можна досягти введенням в потік струминок диму, тонких ниток або шовковинок.

Якщо траєкторії частинок описуються плоскими кривими, то такий потік називається плоскопаралельним. Якщо траєкторії частинок мають переміщення по 3-х взаємно перпендикулярних напрямках, то такий потік називають просторовим.

Рис. 35. Схема спектра течії потоку навколо твердого тіла

1. Тонкий шар, що прилягає до обтічного тіла, називається примежовим шаром. У ньому мають місце великі градієнти швидкості по товщині шару, істотно проявляються властивості в'язкості, виникає ковзна напруга і, як наслідок, – сили тертя.

2. Течії поза примежовим шаром. Градієнти швидкості в цій зоні незначні, в'язкість слабка, сили тертя невеликі. Для спрощення досліджень за межами примежового шару середовище вважається незбуреним, ідеальним.

3. Спутний слід – це частина повітряного потоку, що сходить з хвостової частини обтічного тіла, в якому течія в основному вихрова, мають місце великі градієнти швидкостей, проявляються властивості в'язкості і виникають сили тертя.

Вид спектру обтікання залежить від: форми тіла, швидкості потоку, а також від значень параметрів стану повітря, що визначають величину і характер проявів таких його властивостей, як в'язкість і стисливість. У деяких випадках одна або обидві ці властивості практично не проявляються і з метою спрощення розрахунків аеродинамічних сил їх впливом можна знехтувати.

– Ідеальна рідина – це середовище, в якому відсутні властивості в'язкості і стисливості;

– в'язка рідина – це в'язке середовище, позбавлене стисливості;

– ідеальний газ – це стисливе газове середовище, позбавлене в'язкості, але яке строго підкоряється рівнянню стану ідеального газу з незмінними термодинамічними константами;

– досконалий газ – це реальне газове середовище, яке має властивості в'язкості і стисливості.

Задачі

1) Визначити, як зміниться висота і швидкість польоту літака, якщо температура повітря змінюється від + 20⁰С на поверхні землі до мінус 45⁰С за бортом літака, а число Маха М = 0,6.

2) Визначити, як зміниться швидкість течії і швидкісний тиск в струменях над і під профілем, якщо на висоті польоту Н = 5000 м за швидкості V = 720 км/год. Площа поперечного перерізу струменю перед профілем S = 10 см² і змінюється: над профілем зменшується на 20%, а під профілем збільшується на 40%.

3) Визначити число Маха і число Рейнольдса на висоті Н = 8000 м, якщо швидкість літака V = 900 км/год, коефіцієнт динамічної в'язкості на цій висоті 1,457 _* 10^-5 Н с/м², хорда крила b = 1,5 м.

4) Визначити коефіцієнт кінематичної в'язкості повітря і число Рейнольдса на висоті 10000 м, якщо коефіцієнт динамічної в'язкості на цій висоті 1,457 × 10^-5 Н с/м², швидкість літака 420 км/год, діаметр фюзеляжу літака 5 м.

1.2.3. Рівняння стану потоку і нерозривності потоку рідини і газу

Стан газу, як робочого тіла, характеризується певними значеннями параметрів стану: тиском (p), температурою (Т) і питомим об'ємом (w) чи масовою густиною (ρ).

Використовуючи основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів, можна встановити взаємозв'язок між параметрами ідеального газу в будь-якому термодинамічному стані.

Зміна хоча б одного із параметрів призводить до зміни інших параметрів.

У загальному вигляді зв'язок між термодинамічними параметрами може бути представлений залежністю: f (p, T, w, ρ) = 0.

	Залежність, що зв'язує основні параметри стану ідеального газу, називається рівнянням стану газу і має вигляд:
звідси або , де: p – тиск газу, Па; w – питомий об'єм, м^3/кг; Т – температура газу, ^0К; ρ – масова густина, кг/м^3;

– газова постійна, що характеризує природу конкретного газу і не залежить від параметрів його стану.

Рівняння отримано шляхом об'єднання окремих законів Бойля-Маріотта і Гей-Люссака до загального закону і воно отримало назву рівняння Клайперона-Менделєєва.

	Для визначення стану ідеального газу досить знати тільки два його параметри (p і w або ρ) або (p і Т) або (w, ρ і Т), третій параметр визначається з рівнянь:

	Розв’язок рівняння спрощується, якщо один із параметрів стану газу зберігається постійним:
1. Для ізохоричного процесу: 2. Для ізобарного процесу: 3. Для ізотермічного процесу 4. Для адіабатичного процесу

Найбільший інтерес представляє визначення параметра за двома іншими відомими параметрами, які можна визначити за допомогою певних інструментальних приладів.

	Наприклад, за тиску p = 101320 Н, температури T = 288°C, масова щільність повітря згідно з рівнянням стану буде дорівнювати:

Задачі

1) У скільки разів зменшиться об'єм газу в циліндрі поршневого двигуна в процесі стискання, якщо перед стисканням тиск і температура дорівнювали 2,0 кГс/см² і +35⁰С, а в кінці стіскання – 25 кГс/см² і +600⁰С.

2) Визначити вагу повітря, что міститься в бортовому балоні гальмівної системи вертольота, якщо об'єм балона 6 л, тиск в балоні 190 кГс/см², а температура + 35⁰С.

Рівняння нерозривності рухомого потоку (рівняння Л. Ейлера)

Рівняння нерозривності відображає умовне збереження маси рухомого потоку рідини або газу. Для виведення рівняння віртуально виділимо в потоці рідини або газу замкнутий об'єм у вигляді трубки току (рис. 36):

Рис. 36. Схема трубки току рухомого повітряного потоку

Рівняння нерозривності виведено на підставі закону збереження матерії, установленого в 1748 р. російським вченим М. В. Ломоносовим. Рівняння нерозривності було опубліковано Л. Ейлером у 1770 р. і є застосуванням закону збереження енергії до струминки газу.

Нехай в перерізі «1-1» площа параметри стану газу рівні За час через переріз проходить маса повітря:

Через переріз «2-2» проходить за 1 с своя маса повітря: .

Так як через бічну поверхню трубки потік повітря не просочується, то через будь-який переріз трубки за однаковий час проходить однакова маса повітря: або

	Тоді для сталого руху рівняння буде мати вигляд:
– масова витрата повітря, або , де: питома витрата газу, кг⸳c/м^2

	За невеликих швидкостей прямолінійного рівномірного руху повітря стисливістю можна знехтувати, тоді рівняння буде мати вигляд:
– об'ємна витрата повітря.

Фізичний сенс рівняння: за малих швидкостей руху повітря зменшення площі перерізу потоку викликає збільшення швидкості руху.

, звідси

З рівняння випливає, що за дозвукової швидкості потоку швидкість руху газу в струминки обернено пропорційна площі поперечного перерізу, тобто за зменшення площі поперечного перерізу струминки швидкість течії зростає, і навпаки.

У разі руху з великою дозвуковою, трансзвуковою і надзвуковою швидкістю, коли проявляється властивість стисливості, зміна швидкості залежить не тільки від площі поперечного перерізу, але і від зміни масової густини. Тоді вираз набуде вигляду:

За надзвукової швидкості потоку внаслідок особливостей зміни фізичних характеристик густина газу змінюється швидше, ніж швидкість течії. Тому для отримання надзвукової швидкості і її збільшення необхідно розширювати струминку, збільшувати площу її поперечного перерізу за певним законом. Безперервне збільшення швидкості потоку від дозвукової до надзвукової можливо лише в струминці, що має форму сопла Лаваля (рис. 37).

За великих швидкостей потоку на стисливість повітря впливає не тільки швидкість потоку, а й швидкість звуку в потоці. Як критерій стисливості рухомого повітря використовується число Маха . Що більша швидкість потоку повітря, то більша його стисливість.

Таким чином, рівняння сталої витрати, будучи відповідним вираженням закону збереження матерії стосовно струмка газу, пов'язує між собою швидкість, масову густину і площу того поперечного перерізу струмка, в якому розглядаються ці характеристики.

Рис. 37. Схема течії потоку повітря в соплі Лаваля

Задачі

1) Визначити розмір швидкісного тиску, повний тиск і число Маха на висоті Н = 4000 м, за швидкості 400 км/год.

2) За обтікання крила повітряним потоком площа струменю зменшилась у 2 рази. Визначити швидкість струменю і швидкісний тиск у найвужчому перерізі, якщо швидкість польоту літака 480 км/год на рівні земної поверхні.

3) Визначити, як зміниться розмір швидкісного тиску на елементи конструкції літака, який летить зі швидкістю V = 720 км/год, за зміни висоти з Н₁ = 2 км до Н₂ = 4000 м.

4) Визначити, як зміниться швидкість і швидкісний тиск в струминках над і під профілем крила, якщо на висоті польоту Н = 3000 м за швидкості 320 км/год площа поперечного перерізу струменю перед профілем S = 50 см² і змінюється таким чином: над профілем зменшується на 20%, а під профілем збільшується на 40%.

1.2.4. Рівняння збереження і балансу енергії рухомого газового потоку. Практичне використання основних рівнянь ерогідрогазодинаміки.

	Маса рухомого газу в будь-якому перерізі потоку має три види енергії (рис. 38):
– внутрішню енергію – , ккал / кг;
– енергію тиску – , кГс м / кг;
– кінетичну енергію – , кГс м / кг.

Рис. 38. Схема збереження енергій рухомого потоку

На масу газу, що знаходиться ліворуч в перерізі «1-1», діє сила тиску , а праворуч в перерізі «2-2» діє сила .

За переміщення газу з перерізу «1-1» до перерізу «2-2» на відстань Δl = V₁-₂ × Δt сила тиску здійснює роботу ΔР × Δl, при цьому змінюється енергія тиску, що рівносильна величині роботи, яку здійснюють силами тиску. Різниця енергій тиску в перерізах «1-1» і «2-2» називається енергією проштовхування маси газу між цими перерізами.

	Баланс енергії для елементарного об'єму газу згідно з І-м законом термодинаміки має вигляд:
, де: – зовнішнє тепло, яке підводиться до 1 кг маси газу, ккал; – теплозбереження газу (ентальпія), кгс м/кг; V – швидкість руху частинок газу, м/с; – робота, що виконується газом, кгс м/кг.

Зовнішнє тепло, що підводиться до частинки газу, витрачається на збільшення теплозбереження, збільшення кінетичної енергії і виконання зовнішньої роботи.

	Так як швидкості руху частинок газу досить великі, то тепло не встигає підводитися зовні до газу , а отже, і зовнішня робота газом не виконується , тоді рівняння збереження енергії набуде вигляду:
Після інтегрування виразу отримаємо рівняння: – повна енергія потоку

Сума внутрішньої енергії і енергії тиску газу називається теплозбереженням або ентальпією газу:

З огляду на рівняння стану газу: , рівняння ентальпії можна записати виразом:

i = c_w ^• T + A ^• RT= (C_w + A ^• R) ^• T

враховуючи, що , рівняння можна записати у вигляді:

де

, Ккал/кгс _• м – коефіцієнт еквівалентності тепла, що підводиться до виконаної зовнішньої роботи.

	Таким чином, за сталого руху газу без підведення і відведення тепла із зовнішнього боку і за невиконання газом механічної роботи, сума ентальпії і кінетичної енергії в будь-якому перерізі потоку зберігається незмінною:

Фізичний сенс рівняння: зміна кінетичної енергії газу переважно відбувається за рахунок зміни його теплозбереження.

Рівняння балансу енергії рухомого потоку (рівняння Д. Бернуллі)

Рівняння Бернуллі є доповненням до закону збереження енергії рухомих частинок рідини і газів. Цей закон сформулював відомий учений Д. Бернуллі у 1738 році. Виділимо в усталеному потоці рідини трубку струминок. Нехай в перерізі «1-1» площею , яке знаходиться на висоті відносно базового рівня параметри потоку рівні: (рис. 39).

У перерізі площею на висоті параметри газу дорівнюють Припустимо, що обмін енергії між потоком і навколишнім середовищем не здійснюється, через деякий час : рідина з перерізу переміститися на деяку відстань по трубці току , а з перерізу – на відстань, що дорівнює .

Згідно з рівнянням про нерозривність потоку через виділені перерізи потоку за час проходить однакова маса рідини:

Визначимо роботу, яку здійснюють сили тиску в рідині в перерізі «1-1»:

,

аналогічно виглядає і робота для перерізу «2-2»:

Рис. 39. Схема балансу енергії рухомого потоку

Різниця виконаних робіт над об’ємом рідини між перерізами «1-1» і «2-2» буде дорівнювати:

	Ця робота збільшує енергію маси рідини під час проходження нею відстані від перетину до перетину :
, де: і – повні енергії маси газу, що рухається в перерізі і .

Повна енергія маси рухомого газу включає в себе: кінетичну енергію руху, потенційну енергію положення і внутрішню енергію:

Кінетична енергія характеризує здатність виділеної маси газу виконувати роботу за його гальмування від вихідної швидкості до нульового значення:

Потенційна енергія положення характеризує енергію сили ваги газу і показує, яку роботу маса газу може виконати за зміни висоти перерізу потоку газу відносно обраного рівня:

Внутрішня енергія характеризує здатність виділеної маси газу виконати роботу за зміни температури:

З огляду на рівняння стану газу і газову постійну:

, отримаємо ,

	Тоді вираз внутрішньої енергії газу можна записати у вигляді:
, враховуючи, що , отримаємо: , де: – показник адіабати (для повітря = 1,4).

Тоді рівняння повної енергії маси газу в загальному вигляді можна записати у вигляді:

Підставивши в це рівняння , отримаємо:

З огляду на рівняння нерозривності і згрупувавши величини з однаковими індексами, отримаємо рівняння Д. Бернуллі з урахуванням стисливості:

Так як в аеродинаміці струминки газового потоку знаходяться практично на одному рівні, то зміну потенціальної енергії тиску від положення в рівнянні можна не враховувати, тобто , таким чином можна вважати, що:

Якщо газ рухається з малою дозвуковою швидкістю (М ≤ 0,3), стисливістю його можна знехтувати, тобто , і можна вважати, що температура маси рідини не змінюється, а отже, внутрішня енергія по всіх перетинах потоку постійна:

	Тоді рівняння Бернуллі без урахування стисливості набуде вигляду:
– повний тиск потоку рідини, де: р1 і р2 – статичний тиск, Па – динамічний тиск або швидкісний напір, Па.

У загальному вигляді рівняння Д. Бернуллі без урахування стисливості має вигляд:

– повний тиск в потоці.

Фізичний сенс рівняння Бернуллі полягає в тому, що за усталеного руху нестисливого газу повний тиск дорівнює сумі статичного і динамічного тиску і є величиною постійною у всіх перерізах одного і того ж потоку газу.

Практичне використання основних рівнянь

Рівняння встановлюють дуже важливу для аеродинаміки залежність між швидкістю потоку, тиском в ньому і основними газодинамічними параметрами газу.

Повне гальмування газового потоку

У разі повного гальмування потоку газу в перерізах кінетична енергія рухомого газу повністю перетворюється в потенційну енергію тиску (рис. 40).

Рис. 40. Схема повного гальмування потоку

	Згідно з рівнянням Д. Бернуллі:
при рівняння набуває вигляду: , або

Таким чином, у випадку повного гальмування потоку нестисливого газу підвищення тиску в місці гальмування дорівнює швидкісному напору, а тиск загальмованого потоку дорівнює повному тиск.

Задачі

1) Визначити, як зміниться повний тиск в критичній точці носової частини фюзеляжу літака на висоті 8000 м, якщо швидкість літака змінюється від 400 до 900 км/год.

2) Визначити температуру загальмованого повітряного потоку для чисел Маха М = 3 і 5, якщо температура набігаючого потоку t = 30⁰С.

Виникнення підйомної сили

На підставі рівняння нерозривності і рівняння балансу енергії рухомого газу можна пояснити фізичну сутність виникнення підйомної сили на твердому тілі, що обтікається потоком газу (рис. 41).

При обтіканні тіла газовим потоком на верхній його поверхні швидкість потоку збільшується через зменшення площі перерізу струмків, що призводить до зменшення тиску. На нижній поверхні швидкість потоку зменшується через збільшення площі поперечного перерізу струминок, що призводить до збільшення статичного тиску.

Таким чином, на обтічному тілі виникає різниця тисків, що призводить до виникнення підйомної сили Y_а, спрямованої вгору.

Рис. 41. Схема виникнення аеродинамічної сили

Вимірювання швидкості польоту

На підставі закону Д. Бернуллі використовується принцип вимірювання швидкості польоту літального апарату. Вимірювання швидкості здійснюється за допомогою приймача повітряного тиску (ППТ), що складається з 2-х трубок: внутрішньої трубки 1, яка є приймачем повного тиску, і зовнішньої трубки 2, яка є приймачем статичного тиску (рис. 42):

Рис. 42. Схема вимірювання швидкості повітряного потоку

Обидві трубки з'єднані з покажчиком швидкості 3, під дією різниці тисків мембранна коробка 4 деформується і через передавальний механізм пересуває стрілку приладу 5, звідси формула для розрахунку приладової швидкості:

Швидкість, виміряна ППТ, називається приладовою швидкістю ЛА. Зі збільшенням висоти польоту, в зв'язку зі зменшенням густини повітря, показання приладу стають недостовірними. Тому повітряна швидкість ЛА на деякій висоті (H) буде дещо більшою, ніж швидкість, що показує прилад. З цією метою для визначення істинної повітряної швидкості вводиться поправка (1/Δ).

де ;

Задачі

1) Визначити приладову і повітряну швидкість польоту літака, якщо статичний тиск за бортом літака на заданій висоті 1,013 × 10⁵ Па, тиск в критичній точці на фюзеляжі літака 1,108 × 10⁵ Па, а масова густина 0,5 кг/м³.

2) Літак летить на висоті Н = 8000 м. Яку швидкість буде показувати прилад показника швидкості і яка буде фактична повітряна швидкість, якщо повний тиск 1,15 × 105 Па.

Питання для самоконтролю

1. Рівняння стану газового потоку і його практичне використання в аерогідрогазодинаміці. 2. Рівняння збереження енергії потоку рідини і газу, його практичне використання в аерогідрогазодинаміці. 3. Рівняння нерозривності потоку рідини і газу (рівняння Л. Ейлера), його практичне використання в аерогідрогазодинаміці. 4. Рівняння балансу енергії рухомого потоку рідини і газу (рівняння Д. Бернуллі) і його практичне використання в аерогідрогазодинаміці. 5. Теоретичні моделі моделювання течії потоку рідини і газу навколо твердих тіл. 6. Характеристика прямолінійного рівномірного руху частинок рідини і газу в потоці, дати визначення основним елементам потоку: траєкторія, лінія току, трубка току. 7. Характеристика вихрового руху частинок рідини і газу в потоці, дати визначення основним елементам вихрового потоку: вихрова лінія, вихровий шнур, вихрова трубка. 8. Дати визначення потоку рідини і газу, розкрити поняття усталеного і неусталеного потоку, охарактеризовати спектр обтікання навколо твердих тіл. 9. Охарактеризувати фізичну картину течії рідини і газу навколо твердих тіл і зон при обтіканні. 10. Охарактеризувати використання рівнянь Л. Ейлера і Д. Бернуллі для пояснення фізичної сутності виникнення підйомної сили профілю і крила. 11. Охарактеризувати практичне використання рівнянь Клайперона – Менделєєва і збереження енергії газового потоку в аерогідрогазодинаміці.

Попередня тема

На початок

Наступна тема