Технічне обслуговування ремонт і монтаж машин та агрегатів металургійних підприємств

Частина I

Електронний посібник

ГОЛОВНА	ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ		АНОТАЦІЯ	ДОДАТКИ
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ		УКЛАДАЧІ

РОЗДІЛ 1. НАДІЙНІСТЬ МАШИН

1.4. Основи теорії надійності.

1.4.1. Наука про надійність. Термінологія, поняття, визначення, показники надійності

1.4.2. Фактори, що впливають на надійність устаткування

1.4.3. Підхід до проєктування і конструювання з позицій теротехнології

1.4.4. Надійність елемента, який працює до першої відмови

1.4.5. Методика обробки даних статистичних спостережень про надійність

1.4.6. Отримання інформації про надійність обладнання

1.4.7. Елементи теорії ймовірності. Закони розподілення напрацювання до відмов

1.4. Основи теорії надійності.

1.4.1. Наука про надійність. Термінологія, поняття, визначення, показники надійності

Наді́йність – властивість технічних об'єктів зберігати у встановлених межах часу значення всіх параметрів, які характеризують здатність виконувати відповідні функції в заданих режимах та умовах застосування, технічного обслуговування, зберігання та транспортування.

Надійність є комплексною властивістю, яка, залежно від призначення об'єкта та умов його застосування, може включати:

· безвідмовність;

· довговічність;

· ремонтопридатність;

· збережуваність або поєднання цих властивостей.

Безвідмовність – властивість об'єкта безперервно зберігати працездатний стан протягом деякого часу або напрацювання.

Довговічність – властивість об'єкта зберігати працездатний стан до настання граничного стану за встановленої системи технічного обслуговування і ремонту.

Ремонтопридатність – властивість об'єкта, що полягає в пристосованості до підтримання і відновлення працездатного стану шляхом технічного обслуговування і ремонту.

Збережуваність – властивість об'єкта зберігати в заданих межах значення параметрів, що характеризують здатність об'єкта виконувати необхідні функції під час та після зберігання і транспортування.

Об'єкт може знаходитися в наступних станах:

1) справний стан – стан об'єкта, за якого він відповідає усім вимогам нормативно-технічної документації; 2) несправний стан – стан об'єкта, за якого він не відповідає хоч б одній з вимог нормативно-технічної документації; 3) працездатний стан – стан об'єкта, за якого значення всіх параметрів, що характеризують здатність виконувати задані функції, відповідають вимогам нормативно-технічної документації; 4) непрацездатний стан – стан об'єкта, за якого значення хоч б одного параметра, що характеризує здатність виконувати задані функції, не відповідає вимогам нормативно-технічної і (чи) конструкторської (проєктної) документації; 5) граничний стан – стан об'єкта, за якого його подальша експлуатація недопустима або недоцільна, або відновлення його працездатного стану неможливе або недоцільне.

Рис. 1.60. Властивості та показники надійності об 'єктів

Для опису різних пошкоджень об'єктів використовують наступні терміни.

Дефект – кожна невідповідність властивостей об'єкта встановленим вимогам.

Ушкодження – подія, що полягає в порушенні справного стану об'єкта за збереження працездатного стану.

Відмова – подія, що полягає в порушенні працездатного стану об'єкта.

Розрізняють наступні типи відмов:

Рис. 1.61. Класифікація відмов

· ресурсна відмова, в результаті якої об'єкт досягає граничного стану;

· незалежна відмова, що не обумовлюється іншими відмовами;

· залежна відмова;

· раптова відмова;

· поступова відмова;

· збій – відмова, що самоусувається, або одноразова відмова, що усувається незначним втручанням оператора;

· явна відмова (виявляється візуально);

· прихована відмова;

· конструктивна відмова;

· виробнича відмова;

· експлуатаційна відмова.

Часові поняття, що використовуються в теорії надійності:

1. Напрацювання – тривалість або обсяг роботи об'єкта. Напрацювання може бути як безперервною величиною (тривалість роботи в годинах, кілометраж пробігу та ін.), так і дискретною (кількість робочих циклів, запусків). 2. Напрацювання до відмови – напрацювання об'єкта від початку експлуатації до виникнення першої відмови. 3. Напрацювання між відмовами – напрацювання об'єкта від закінчення відновлення його працездатного стану після відмови до виникнення наступної відмови. 4. Час відновлення – тривалість відновлення працездатного стану об'єкта. 5. Ресурс – сукупне напрацювання об'єкта від початку його експлуатації або відновлення після ремонту до переходу в граничний стан. 6. Термін служби – календарна тривалість експлуатації від початку експлуатації об'єкта або відновлення після ремонту до переходу в граничний стан. 7. Показник надійності – кількісна характеристика одного або декількох властивостей, що становлять надійність об'єкта.

Розрізняють наступні основні показники надійності:

Одиничний – характеризує одну з властивостей, що складають надійність об'єкта. Комплексний – характеризує декілька властивостей, які становлять надійність об'єкта. Розрахунковий – значення якого визначаються розрахунковим методом Експериментальний – точкова або інтервальна оцінка якого визначається за даними випробувань. Експлуатаційний – точкова або інтервальна оцінка якого визначається за даними експлуатації.

Надійність є комплексним показником якості машин, оскільки в нього входять довговічність, збережуваність і ремонтопридатність. Ремонтопридатність – показник тимчасовий. У технічно розвинених країнах він відсутній, оскільки машини, які відпрацювали свій паспортний ресурс, відправляють на металобрухт.

Комплексним показником надійності є коефіцієнти готовності і технічного використання.

Коефіцієнт готовності – вірогідність того, що машина буде працездатна в довільний момент часу в проміжках між плановими ремонтами, окрім планованих періодів, в перебігу яких застосування машини не передбачається.

У сталому режимі експлуатації коефіцієнт готовності:

(1.1.)

Коефіцієнт технічного використання – відношення інтервалів часу перебування машини в працездатному стані на деякий період експлуатації до суми інтервалів часу перебування машини в робочому стані, простоїв, обумовлених технічним обслуговуванням і ремонтів за той же період експлуатації.

(1.2)

де: Т_сум – сумарне напрацювання всіх однакових об’єктів, експлуатованих в заданий період;

Т_рем – сумарний час непрацювання машини у зв’язку з плановими ремонтами;

Т_обс – сумарний час непрацювання машини у зв’язку з плановим і неплановим

техничним обслуговуванням.

Вірогідність безвідмовної роботи:

, (1.3)

де n′ – число машин, які вийшли з ладу;

n – число машин, які безвідмовно пропрацювали до моменту часу;

N – число випробованих машин.

Для машин, які за системою ППР підлягають капітальним ремонтам, велике зна- чення має комплексний показник рівня ремонтопридатності.

Під час аналізу надійності розраховується також решта характеристик експлуатаційної надійності.

Рис. 1.62. “Крива життя” пристрою

Для обгрунтованої оцінки надійності технічних пристроїв важливо правильно розуміти природу та суть відмов. Під час експлуатації розрізняють три типи відмов: відмови припрацювання, раптові та відмови внаслідок зносу. Вони відрізняються фізичною природою, способами попередження та усунення і виявляються в різні періоди експлуатації технічних пристроїв.

Відмови зручно характеризувати “кривою життя” пристрою, яка ілюструє залежність інтенсивності відмов λ, що виникають в ньому, від часу t. Така ідеалізована крива для машин наведена на рис. 1.62. Вона характеризується трьома періодами: припрацювання – І, нормальної експлуатації – ІІ, зносу – ІІІ.

1.4.2. Фактори, що впливають на надійність устаткування

У житті машини можна виділити три основних періоди: проєктування, виготовлення та експлуатації. Кожен із цих періодів впливає на надійність, яка проявляться лише на останній стадії.

Реальні деталі мають складну форму, яка впливає на розподіл механічних навантажень. Тому при розрахунках форму деталей спрощують. А це також веде до зниження точності розрахунків.

З викладеного можна зробити висновок, що дійсні механічні напруження практично неможливо передбачити, що впливає на надійність виробу. Зважаючи на викладене, треба пам'ятати, що збільшення коефіцієнтів запасу міцності не завжди призводить до зменшення напружень, особливо у випадках динамічного навантаження (пуск, гальмування), оскільки за зростання розмірів зростають і маси рухомих деталей. Крім того, збільшення розмірів деталей призводить до збільшення їх вартості та масштабного фактору.

1.4.3. Підхід до проєктування і конструювання з позицій теротехнології

Велике значення під час проєктування машини має вибір матеріалу деталей. Загалом, міцніші матеріали менш пластичні, в цих матеріалах більше виникає тріщин, особливо за циклічних та ударних навантажень. В той же час ці матеріали добре витримують контактні навантаження під час статичних навантажень, зносостійкі. Матеріали з меншою міцністю практично мають протилежні властивості, тому використовуються в інших випадках. Але в практиці виникає потреба забезпечувати достатню міцність і здатність витримувати змінні навантаження. В цих випадках використовують спеціальне термічне або інше оброблення. Останнім часом широко використовують композитні матеріали, властивості яких можна забезпечити під час їх виготовлення. Такими є матеріали на основі високоміцних волокон.

Під час проєктування машин та механізмів слід враховувати вплив різних конструктивних факторів, таких як проточки, галтелі, отвори, тобто таких конструктивних елементів, які зумовлюють зміну форми деталі в межах невеликого обсягу. В таких місцях виникає нерівномірний розподіл механічних напружень, який у техніці враховують коефіцієнтом концентрації напружень. На значення коефіцієнта впливає не тільки зміна форми, а й зміна характеру навантаження. Так, при посадках втулок із натягом між втулкою та валом виникають нормальні напруження. Вони мають місце між валом та втулкою, але їх немає за межами втулки. Тобто на межі втулки буде мати місце різка зміна навантаження. Це і призведе до появи концентрації напружень. Водночас, для деталей машин, які працюють в умовах динамічного навантаження, фіксація взаємного розташування деталей без посадок із натягом майже неможлива.

З метою попередження поломок деталей машин та механізмів на етапі проєктування в машинах передбачають запобіжні пристрої. Пристрої можуть мати руйнівний елемент. Запас міцності цих елементів близький до одиниці. Внаслідок перевантаження ці деталі першими виходять із ладу і тим самим не дають можливості перевантажитись іншим деталям. Запобіжні деталі роблять якомога простішими за формою та з не дуже дорогого матеріалу. До таких деталей слід віднести втулки, стакани, зрізні болти, муфти, шпинделі тощо. В електричних схемах приводів передбачають тепловий та максимальний захист, які захищають двигун від перевантаження та перегрівання.

Кожне з перерахованих явищ не детерміноване, воно випадкове. Тому на надійність обладнання впливає велика кількість випадкових факторів, які треба враховувати на стадіях проєктування, виготовлення та експлуатації машин та механізмів.

Будь-яке промислове устаткування є системою окремих елементів, надійність яких вивчається окремо.

1. Напрацювання, яке характеризує надійність об’єкта, є випадковою величиною, тобто величиною, яка приймає різні значення в результаті досліду. 2. Випадкові величини можуть бути безперервними або дискретними. Особливістю безперервних випадкових величин є те, що імовірність будь-якого окремого значення рівна нулю, а дискретні випадкові величини в результаті досліду приймають значення, яке має певну імовірність. 3. Для оцінки імовірності безвідмовної роботи машини або будь-якого її елемента потрібно повернутись до класифікації її відмови як випадкової події, так як відмови елементів машин утворюють певну групу подій, тобто подій, з яких одна в результаті досліду відбудеться обов’язково. 4. Декілька подій називають несумісними, якщо ніякі з них не можуть з’явитися одночасно. Всі несумісні події утворюють повну групу.

Рис. 1.63. Визначення інтервалу імовірності

Якщо випадкова величина Х може приймати будь-яке значення в деякому інтервалі [А, В], то для кожного існує певна імовірність того, що Х прийме значення, яке не перебільшує х, тобто

(1.4)

Величина називається щільністю розподілу, або щільністю імовірності випадкової величини Х.

При цьому

Функція має наступні властивості:

1 – – позитивна функція

2 –

Залежно від виду функції щільності імовірності розділяють різні розподіли випадкових величин: рівномірне, трикутне, експотенційне, нормальне, гама, логарифмічно нормальне, Вейбула, Ст’юдента, Х² (Х_і - квадрат) та інші.

Основними числовими характеристиками розподілів безперервних випадкових величин, які використовуються в теорії надійності, є:

Математичне очікування М(Х)

(1.5)

Дисперсія

(1.6)

Середньоквадратичне відхилення , яке визначається

(1.7)

Коефіцієнт варіації

(1.8)

1.4.4. Надійність елемента, який працює до першої відмови

Модель надійності. В момент елемент починає роботу, а в момент починається відмова.

Величина r може бути описана з допомогою функції розподілу

, яка називається функцією ймовірності відмови

Функція – визначає імовірність відмови елемента до моменту , тобто імовірність того, що величина прийме значення менше чим .

Функція – безперервна і може бути диференційована.

Поряд з функцією для оцінювання надійності використовується функція виду

(1.9)

Ця функція характеризує імовірність без відповідної роботи. Цю функцію іноді називають функцією надійності.

Статистична оцінка імовірності безвідмовної роботи в межах напрацювання елемента від 0 до t, яка визначається згідно з даними випробувань, має наступний вид

(1.10)

Статистична оцінка щільності розподілу

(1.11)

Графіки функцій і

Рис. 1.64. Графіки статичної оцінки щільності розподілу

У більшості випадків на практиці нема потреби характеризувати випадкову величину повністю. Досить буде визначити тільки окремі числові характеристики.

Найбільш важливою є середнє напрацювання на відмову, яке визначається як математичне очікування величини :

(1.12)

Статистична оцінка Т₁ може бути виконана за наступною формулою:

(1.13)

Другою важливою характеристикою надійності виробів, які не демонтуються, є інтенсивність відмов.

(1.14)

Статистична оцінка інтенсивність відмов

(1.15)

При випробуванні групи однотипних має місце закономірність зміни

Рис. 1.65. Статистична оцінка імовірності відмов

Між основними параметрами надійності

· щільність імовірність відмов ;

· імовірність безвідмовної роботи ;

· інтенсивність відмов ;

· напрацювання до першої відмови (напрацювання на відмову) ;

· математичне очікування тривалості відновлення працездатності ;

· коефіцієнт готовності

існують наступні математичні залежності:

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

У теорії надійності в більшості практичних випадків зустрічаються наступні функції щільності імовірності відмов:

E (=const) (1.20)

N (T i =const) (1.21)

W (T; m=const) (1.22)

Г ( i m=const) (1.23)

1.4.5. Методика обробки даних статистичних спостережень про надійність

Визначення показників надійності пов’язане з рішеням двох головних задач математичної статистики – оцінка невідомих параметрів вибірки (множина випадкових даних про напрацювання на відмову) та перевірки статистичних гіпотез відносно законів розподілу ймовірності значень напрацювання на відмову.

Обробка результатів дослідження надійності дозволяє вирахувати числові характеристики емпіричного розподілу (вибірки) ймовірності значень напрацювання на відмову, які називаються статистичними оцінками (емпіричними або вибірковими характеристиками), які аналогічні числовим характеристикам ВВ (випадкової величини – величини напрацювання на відмову): математичне очікування, дисперсія, початкові та центральні моменти різних порядків. Кожній числовій характеристиці ВВ відповідає її статистична аналогія.

Математичним очікуванням випадкової величини є його статистична оцінка , яка є середнім арифметичним (статистичним середним) значенням отриманих в результаті випробовувань реалізції ВВ:

, (1.24)

де – число реалізаціїї (об’єм вибірки) випадкової величини;

– і-а реалізація (значення) випадкової величини .

За необмеженого збільшення статистичне середнє наближується (зводиться за вірогідністю) до математичного очікування. Зі збільшенням об’єму вибірки зростає довірча вірогідність (надійність) статистичного середнього та знижується величина відносної помилки .

1.4.6. Отримання інформації про надійність обладнання

Метою збирання інформації про надійність обладнання є: отримання статичних даних, необхідних для визначення кількісних значень показників надійності; встановлення статистичних закономірностей відмов; визначення законів розподілення випадкових значень часу безвідмовної роботи, відновлення, ресурсів щодо капітального ремонту; виявлення елементів, що визначають вплив на рівень надійності будь-яких гірничо-металургійних машин та систем обладнання в цілому; вивчення впливу умов та особливостей експлуатації машин на рівень їх надійності.

На основі таких даних можуть прийматися перевірені рішення щодо підвищення надійності машин, комплексів, агрегатів та інших об’єктів промислового обладнання на стадіях проєктування, виготовлення та щодо підтримки необхідного рівня їх надійності в процесі експлуатації.

Для отримання інформації щодо експлуатаційних властивостей використовують результати спеціальних досліджень та документацій. Джерелом отримання досить повної інформації про надійність обладнання та його елеменів є Журнал спостережень за роботою обладнання, форма та вказівки щодо ведення якого розроблені в галузевих нормативних матеріалах.

Такий журнал заповнюється силами обслуговуючого техніку персоналу, і є джерелом отриманя систематичної інформації про надійность основних елементів серійного обладнання.

Для визначення показників елементів надійності, ліквідацій відмов, які виникли внаслідок простоїв обладнання, можуть бути використані також журнал реєстрації відмов, що ведеться механіком або диспетчерами виробництв.

Найбільш повну та різносторонню інформацію дають спеціальні хронометражні спостереження, перевагами яких є безперервність та цільова спрямованість. Тривалість спостережень залежить як від величини параметрів відмов обладнання (зі зменшенням якої вона має зростати), так і від мети спостереження – потрібно визначити або наскільки достовірне середнє значення показників надійності, або встановити закон розподілу випадкових величин, які використовуються для оцінки надійності.

Під час проведення певних випробовувань з метою оперативного отримання кількісних значень показників надійності та параметрів розподілу ВВ виникає потреба мати справу із вибіркою об’єктів з-поміж генеральної сукупності – з усією сукупністю однорідних об’єктів обладнання або з вибірковими сукупностями реалізації випадкових величин, які використовують для оцінки надійності. Внаслідок цього, величина показників надійності, визначена на основі вибіркової сукупності, лише з деякою вірогідністю кількісно представляє ці показники для генеральної сукупності об’єктів.Тому при плануванні обсягу певних випробовувань задаються показники, що кількісно характеризують достовірність результатів (достовірна вирогідність) та їх точність (зазвичай межа помилки).

1.4.7. Елементи теорії ймовірності. Закони розподілення напрацювання до відмов

Час безвідмовної роботи – випадкова величина. Найбільш повною її характеристикою є закон розподілу. В теорії надійності використовується низка законів: Вейбулла-Гнеденко, експоненціальний, Релея, Пуассона, нормальний, рівномірний та ін.

Розподіл Вейбулла-Гнеденко використовується зазвичайно для опису показників надійності напівпровідникових приладів, мікросхем і РЕП. Для цього розподілу ймовірність безвідмовної роботи в інтервалі

(1,25)

де – параметр форми закону розподілу, який залежить від кількості відмов виробу;

– параметр масштабу.

Щільність ймовірності відмов (рис.1.66,а) дорівнює

, (1.26)

середнє напрацювання до відмови

; (1.27)

де – табульована повна гамма-функція.

Дисперсія середнього напрацювання до відмови при цьому складає

. (1.28)

Із формул (1.26) і (1.27)

. (1.29)

Неважко визначити, що за інтенсивність відмов монотонно зменшується, а за монотонно збільшується (рис. 1.67, б).

Розподіл Вейбулла за одержав назву експоненціального розподілу. Його специфічною особливістю є постійність інтенсивності відмов.

Отже, ймовірність безвідмовної роботи

. (1.30)

Щільність ймовірності відмов

. (1.31)

Рис. 1.66. Щільність ймовірності напрацювання до відмови

(а) та інтенсивність відмов (б) для розподілу Вейбулла-Гнеденко

Середнє напрацювання до відмови

. (1.32)

Підстановка (1.30) в (1.32) дає

. (1.33)

За експоненціальним розподілом математичне сподівання випадкової величини дорівнює середньому квадратичному відхиленню

. (1.34)

Експоненціальний розподіл є типовим для більшості складних РЕП, що складаються з великої кількості різноманітних елементів, що не ремонтуються, які мають переважно раптові відмови. З урахуванням (3.1) і (3.6) напрацювання до відмови за експоненціальним розподілом

, (1.35)

Отже

. (1.36)

З урахуванням (1.34)

. (1.37)

Графіки щільності ймовірності відмов і інтенсивності відмов для експоненціального закону відповідають графікам для закону Вейбулла-Гнеденко за (рис.1.67).

Розподіл Релея досить повно описує поведінку РЕП і їх елементів з явно вираженим ефектом старіння і зношеності.

Ймовірність безвідмовної роботи

. (1.38)

Щільність ймовірності відмов (рис.1.2, а)

. (1.39)

Інтенсивність відмов (рис. 1.67, б)

(1.40)

Середнє напрацювання до відмови

. (1.41)

Середнє квадратичне відхилення середнього напрацювання до відмови

. (1.42)

Тут – параметр розподілу.

Рис. 1.67. Щільність ймовірності напрацювання на відмову

(а) та інтенсивність відмов (б) для розподілу Релея

Нормальний розподіл описує надійність об’єкта, для якого характерне зношування однорідних елементів, які мають малий розкид параметрів зношуваності.

Щільність ймовірності відмов

(1.43)

За нормального розподілу випадкова величина може мати будь-які значення від – до . Оскільки можливі значення випадкового напрацювання до відмови можуть бути тільки позитивними, його розподіл слід приймати зрізано нормальним, або звичайним нормальним за . Вже за від’ємна гілка закону вносить зневажливо малу вагу в загальний результат.

Для зрізано нормального на інтервалі розподілу вводять нормуючий множник, який визначається за умови, що площа під кривою щільності ймовірності розподілу відмов дорівнює 1:

. (1.44)

При цьому, якщо , то функція розподілу відмов розраховується за допомогою функції Лапласа (інтеграла ймовірності)

. (1.45)

Тоді

, (1.46)

де – математичне сподівання незрізаного розподілу.

Для зрізаного розподілу ймовірність безвідмовної роботи

. (1.47)

Далі всі параметри, які характеризують зрізаний розподіл, будуть мати індекс “зр”.

Значення функції Лапласа табульовано тільки для додатних аргументів. У випадку від’ємних значень аргументів застосовують правило: .

Диференціальна функція зрізаного розподілу (рис. 1.67, а)

. (1.48)

Середнє напрацювання на відмову

, (1.49)

. (1.50)

Середнє квадратичне відхилення нормального зрізаного розподілу

. (1.51)

Інтенсивність відмов нормального зрізаного розподілу (рис. 1.68, б)

. (1.52)

Рис. 1.68. Щільність ймовірності напрацювання до відмови

(а) та інтенсивність відмов (б) для зрізаного нормального розподілу

Рівномірний розподіл використовується для оцінювання надійності об’єктів щодо повторюваних відмов для деякого інтервалу часу , в якому щільність розподілу відмов постійна, тобто , а за його межами дорівнює нулю.

Ймовірність безвідмовної роботи

. (1.53)

Розподіл Пуассона (рис. 1.69) описує поведінку дискретних випадкових величин. Випадкова величина розподілена за законом Пуассона, якщо ймовірність того, що вона прийме деяке значення , виражається формулою

(1.54)

де – середня кількість відмов в інтервалі .

Рис. 1.69. Розподіл Пуассона

Дисперсія випадкової величини дорівнює її математичному сподіванню

. (1.55)

Інтенсивність відмов дорівнює

. (1.56)

Оскільки функція дискретна, то в неї немає похідних. Практично всі експериментальні спостереження за безвідмовністю роботи технічного об’єкта проводяться в дискретному часі.

Визначення закону розподілу

Для розрахунку показників надійності за статистичними даними необхідно визначити закон розподілу випадкового часу напрацювання на відмову. Для цього вибірку даних N поділяють на L інтервалів за формулою:

. (1.57)

Після цього визначають частоту попадань значень випадкової величини напрацювання на відмову в кожний інтервал

, (1.58)

де – кількість попадань випадкової величини напрацювання до відмови в й інтервал. Довжина інтервалу , а ймовірність попадання випадкової величини в j-й інтервал .

Побудувавши графік частоти попадань у відповідні інтервали, одержимо гістограму, яка є емпіричною щільністю розподілу випадкової величини у вигляді функції дискретного аргументу (рис. 1.70, а). Якщо додати площі гістограми послідовно по кожному з інтервалів, то одержимо емпіричний закон розподілу випадкової величини y (рис. 1.70, б). Для перевірки відповідності одержаного закону одному з відомих, наприклад, нормальному, використовують критерії Пірсона, Колмогорова та ін.

Рис. 1.70. Емпірична щільність ймовірності випадкової величини

(а) та емпірична функція розподілу (б)

Критерій Пірсона застосовують для вибірки від 50 до 100 результатів

Він передбачає використання -розподілу. Розподілом (хі-квадрат) з К ступенями свободи називається розподіл суми квадратів К незалежних випадкових величин, кожна з яких відповідає центрованому і нормованому нормальному закону. Пірсон довів, що коли як відхилення гіпотетичної функції розподілу від моделі вибрано суму квадратів

(1.59)

з вагами , то за великих n закон не залежить від виду і кількості дослідів, а залежить тільки від кількості інтервалів , а саме, наближається до розподілу . Гіпотеза про вид закону розподілу не відкидається, якщо розрахункове значення менше табличного , визначеного для заданого рівня значущості.

Критерій Колмогорова (для вибірки більш 100 результатів) як міру розбіжності теоретичного й експериментального розподілів використовує максимальне значення модуля різниці D між експериментальною і теоретичною інтегральними функціями розподілу:

(1.60)

Колмогоров довів, що якою б не була функція розподілу випадкової величини, за необмеженого зростання числа незалежних спостережень ймовірність нерівності прагне до межі

(1.61)

В критеріях Пірсона і Колмогорова величину називають рівнем значущості. Якщо розрахованому або значенню відповідає рівень значущості , то можна стверджувати, що отримана розбіжність випадкова з імовірністю Таким чином, розходження між теоретичною й експериментальною функціями розподілу обумовлені з імовірністю не помилковою гіпотезою, а тим, що експериментальна функція розподілу побудована за обмеженою вибіркою випадкової величини. Відповідно, рівень дорівнює ймовірності того, що розбіжність не випадкова. Це значить, що ми розглядаємо помилкову гіпотезу.

Прийнято вважати, що теоретичний розподіл не суперечить експериментальним даним, якщо .

На практиці при застосуванні критерію Пірсона розраховують міру відхилення одержаного закону від теоретичного:

(1.62)

де – загальна кількість відмов;

– кількість відмов в j-му інтервалі;

– кількість інтервалів;

– теоретична ймовірність попадання відмов в й інтервал;

За повної відповідності емпіричної та теоретичної вибіркових частот .

Для оцінювання відповідності емпіричного розподілу теоретичному необхідно розрахувати фактичне значення і порівняти його з табличним значенням за заданого рівня значимості і відповідної кількості ступенів свободи К, яка визначається за формулою , де – кількість параметрів теоретичного розподілу.

Наприклад, для побудови теоретичної кривої нормального розподілу достатньо два параметри – математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення, тому , a . Для побудови теоретичної кривої розподілу Пуассона необхідний один параметр , тому , a .

Питання для самоконтролю

1. Опишіть типові задачі побудови процесів експлуатації, де використовуються показники експлуатаційних властивостей машин. 2. Дайте визначення основним експлуатаційним показникам машин: надійність, безвідмовність, довговічність, ремонтопридатність, збережуваність. 3. Дайте визначення показникам надійності: коефіцієнту готовності і коефіцієнту технічного використання. 4. Дайте визначення таким експлуатаційним показникам, як справність, працездатність, відмова, термін служби, ресурс. 5. Дайте визначення таким експлуатаційним показникам машини, як надійність, справність, несправність, працездатність. 6. Що таке елементи системи надійності? 7. Вибір ознак для ряду різних розподілів випадкових величин. 8. Модель надійності 9.Статистична оцінка імовірності безвідмовної роботи в межах напрацювання.

Попередня тема

На початок

Наступна тема