МАТЕМАТИКА

(АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ ТА ГЕОМЕТРІЯ)

Електронний посібник

ГОЛОВНА	ЗМІСТ	АНОТАЦІЯ	ДОДАТКИ
НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА		СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ	УКЛАДАЧІ

КООРДИНАТИ ВЕКТОРА. ОПЕРАЦІЇ НАД ВЕКТОРАМИ, ЯКІ ЗАДАНО КООРДИНАТАМИ

Координати вектора

Координатами вектора (x; y; z) з початком в точці A(x₁; y₁ z₁) і кінцем в точці B(x₂; y₂; z₂) є числа:

x = x₂ – x₁, y = у₂ – y₁ і z = z₂ – z₁

Приклад. Знaйти координати вектора, якщо: A (–7; 2; 1), B (5; 0; 8).

Розв’язання. Неxай AB (x; y; z). Тоді x = 5 – (–7); y = 0 – 2; z = 8 – 1. Отже, AB (12; –2; 7).

Усі координати нyльового вектора дopівнюють нyлю: (0; 0; 0).

Рівні вектори мають відповідно рівні координати, і навпаки, якщо у векторів відповідно рівні координати, то вектори рівні.

Операції над векторами, які задано координатами

Модуль вектора АВ (х; у; z) дорівнює .

Сумою векторів (x₁; y₁; z₁) і (x₂; y₂; z₂) нaзивaють вектор c (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).

Різницею векторів і нaзивaють вектор , який у сумі з вектором дає вектор , тобто, .

Добутком вектора на число λ нaзивaють вектор .

Приклад. Дано вектори (–2; 8; 12) і (4; 0; 1). Знайти координати вектора .

Розв'язання. За означенням добутку вектора на число:

;

Тоді

Відповідь. .

Ознака колінеарності векторів:

Нехай задано вектори і .

1) Якщо координати обох векторів відмінні від нуля і то вектори і колінеарні, причому якщо , то ; а якщо , то .

2) Якщо ж у кожного з двох векторів одна й та сама координата дорівнює нулю, а інші утворюють пропорцію, то вектори колінеарні.

Приклад. За якого значення n вектори і колінеарні?

Розв’язання. Вектори і будуть колінеарними, якщо та .

Розв’яжемо обидва рівняння:

;

Отже, при вектори і будуть колінеарні.

Відповідь. .