|
Періодичність функцій
Функція  називається періодичною,
якщо існує таке число  , що для
будь-якого  з області визначення функції виконуються рівності:
 – період функції.
Оскільки, значення синуса і косинуса повторюються як
мінімум через один оберт, то:
|
Найменший період 
|
|
Інші періоди,
кратні :
|
|
|
Поглянувши на лінію тангенсів і лінію контангесів, ми бачимо, що значення тангенса і
котангенса повторюється як мінімум
через кожні пів оберта, тому:
|
Найменший період 
|
|
Інші періоди, кратні :
|
|
|
Графік функції  та її властивості
1.
Побудуємо
систему координат, взявши за одиницю довжини 2 клітинки.
2. Так як число  , то для зручності позначення числа  візьмемо 6 клітинок.
3. Проаналізуємо, яким значенням на
одиничному колі відповідає  та позначимо ці точки на нашій системі
координат.
4.
Зʼєднаємо ці точки
плавною лінією.
5. Так як функція  є
непарною, то її графік симетричний відносно початку координат. Виконавши
симетричне відображення функції, отримаємо графік фукнції
на
проміжку  .
6. Графік функції називається синусоїдою.
Властивості
функції 
|
Область
визначення
|
|
|
|
Множина
значень
|
|
|
|
Парність,
непарність
|
Непарна
|
|
|
Найменший додатний період:
|
|
|
|
Нулі функції:
|
|
|
|
Знакосталість,  :
|
|
|
|
Знакосталість,  :
|
|
|
|
Проміжки зростання:
|
|
|
|
Проміжки спадання:
|
|
|
|
Найбільше значення функції:
|
 при 
|
|
|
Найменше значення функції:
|
 при
|
|
|
|
|
|
|
Графік функції  та її властивості
Графік функції  можна отримати так
само, як і графік функції , а можна скористатися формулами
зведення, а саме тим, що  . Тобто
графік функції можна отримати за допомогою паралельного
перенесення графіка вздовж осі абсцис ліворуч на  .
|
Косинусоїда
|
|
|
|
|
|
Зсув графіка  на  ліворуч
|
|
Властивості
фукнції 
|
Область
визначення
|
|
|
|
Множина
значень
|
|
|
|
Парність,
непарність
|
Парна
|
|
Найменший додатний період:
|
|
|
Нулі функції:
|
|
|
Знакосталість, :
|
|
|
Знакосталість, :
|
|
|
Проміжки зростання:
|
|
|
Проміжки спадання:
|
|
|
Найбільше значення функції:
|
при 
|
|
Найменше значення функції:
|
при 
|
Графік функції  та її
властивості
|
Тангенсоїда
|
|
|
|
Графік функції  можна
отримати так само, як і графік функції .
Оскільки, значення
тангенса у точках і  не існує, то це значення при наближенні до даних точок може бути як
завгодно малим, але ніколи не буде дорівнювати даним значенням.
|
|
Графік функції складається з безлічі окремих гілок – гілок
тангенсоїди.
|
Властивості
фукнції 
|
Область визначення
|
|
|
|
Множина значень
|
|
|
|
Парність, непарність
|
Непарна
|
|
Найменший додатний період:
|
|
|
Нулі функції:
|
|
|
Знакосталість, :
|
|
|
Знакосталість, :
|
|
|
Проміжки зростання:
|
|
|
Проміжки спадання:
|
|
|
Найбільше значення функції:
|
|
|
Найменше значення функції:
|
|
Графік
функції  та її
властивості
|
Котангенсоїда
|
|
|
|
Для побудови функції  , аналогічно, як і для функції , скористаємося формулами зведення.
Оскільки  , то графік можна отримати, якщо
виконаємо паралельне перенесення графіка ліворуч вздовж осі абсцис, а
потім симетрично відобразимо його відносно цієї осі.
|
Властивості
фукнції 
|
Область визначення
|
|
|
|
Множина значень
|
|
|
|
Парність, непарність
|
Непарна
|
|
Найменший додатний період:
|
|
|
Нулі функції:
|
|
|
Знакосталість, :
|
|
|
Знакосталість, :
|
|
|
Проміжки зростання:
|
|
|
Проміжки спадання:
|
|
|
Найбільше значення функції:
|
|
|
Найменше значення функції:
|
|
Властивість періодичних функцій
|
Найменший додатний
період функцій  і 
|
|
|
|
Найменший додатний період функцій  і 
|
|
|
|
|
|
|
