МАТЕМАТИКА

(АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ ТА ГЕОМЕТРІЯ)

Електронний посібник

ГОЛОВНА	ЗМІСТ	АНОТАЦІЯ	ДОДАТКИ
НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА		СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ	УКЛАДАЧІ

ЙМОВІРНІСТЬ ПОДІЇ, ЙМОВІРНІСТЬ СУМИ ТА ДОБУТКУ ПОДІЙ

Ймовірність події

Теорія ймовірностей – наука, яка вивчає закономірності масових однорідних випробувань. До основних понять теорії ймовірностей належать поняття стохастичного експерименту та події.

Експеримент (дослід, випробування) називають стохастичним, якщо за виконання певної сукупності умов його можна повторювати необмежену кількість разів і результати якого наперед не можна передбачити. Результат стохастичного експерименту – це подія.

Випробування – це умови, в результаті яких відбувається (або не відбувається) подія. Наприклад: 1) підкидання монети – випробування, поява «герба» – подія; 2) покупка білетів лотереї випробування, поява виграшу на певний білет – подія.

Якщо випадковий експеримент проведено п разів і в п(А) випадків відбулася подія А, то число n(A) називається частотою події А. Відносною частотою випадкової події називають відношення числа появи цієї події до загального числа проведених експериментів .

Неможливою називають подію, яка внаслідок даного випробування не може відбутися (При підкиданні грального кубика випало число 7).

Вірогідною називають подію, яка внаслідок даного випробування обов’язково має відбутися (При кідкиданні грального кубика випало число менше або рівне 6).

Випадковою називають подію, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування (При кідкиданні грального кубика випало число 3).

Імовірністю випадкової події називають відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх подій під час певного випробування.

Р(А) – імовірність появи події А,

п – загальна кількість елементарних подій,

т – кількість елементарних подій, які сприяють події A.

Імовірність вірогідної події U приймають як таку, яка дорівнює 1, оскільки для вірогідної події .

Приклад. В урні є 5 синіх, 7 червоних і 10 білих кульок однакового розміру та маси. Кульки перемішують і навмання виймають одну. Яка ймовірність того, що навмання вийнята кулька буде білого кольору?

Розв’язання.

Нехай А – подія, яка полягає в тому, що навмання вийнята кулька буде білого кольору. Усього кульок . А випадків, які сприяють події А – Тоді ймовірність витягнути білу кульку

Імовірність неможливої події (її часто позначають ) дорівнює 0, бо для неможливих подій число т елементарних подій, які сприяють їм, дорівнює нулю:.

Якщо A – випадкова подія, то ймовірність її появи задовольняє умову , бо в цьому випадку . Імовірність будь-якої події В задовольняє умову .

У теорії ймовірностей розрізняють прості та складені події.

Складеною називатимемо подію, поява якої залежить від появи інших подій, які називатиме простими. Наприклад, під час кидання двох кубиків випало 11 очок. Ця подія є складеною, бо вона складається з різних можливостей для двох простих подій: 1) на першому кубику випало 5, а на другому – 6 очок; 2) на першому кубику випало 6, а на другому – 5 очок.

Сумою подій А та В називають подію С, яка полягає у виконанні під час одиничного випробування події А або події В, або обох подій разом (хоча б однієї з них). Наприклад, подія А – влученні ціль з першого пострілу, подія В – влучення з другого пострілу. Тоді – подія, яка означає влучення у ціль із двох пострілів хоча б одного разу. Позначають суму подій: або .

Події називають сумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших (не обов’язково одночасно). Наприклад, три стрільці стріляють у мішень. Розглянемо випадкові події: А – перший стрілець влучив у мішень, В – другий стрілець влучив у мішень С – третій стрілець влучив у мішень. А, В, С – сумісні випадкові події.

Події називають попарно несумісними в даному випробуванні, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій у тому ж випробуванні. Наприклад, з ящика з деталями виймають одну деталь. Поява стандартної деталі виключає появу нестандартної деталі. Події «взяли стандартну деталь» і «взяли нестандартну деталь» – дві попарно несумісні події.

Теорема про ймовірність суми двох несумісних подій (теорема додавання). Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

.

Подію називають протилежною до події А, якщо вона відбувається тоді й тільки тоді, коли не відбувається подія А. Якщо А – деяка подія, то протилежну їй подію позначають . Наприклад,

а) влучення в ціль під час пострілу і промах – протилежні події. Якщо А – влучення, то – промах;

б) з ящика з деталями вибирають деталь. Подія А – вибрали стандартну деталь і — вибралі нестандартну деталь. Події А та – протилежні.

З теореми додавання випливають такі наслідки:

1. Якщо події попарно несумісні, то

.

2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1, тобто ;

Якщо ймовірність однієї з протилежних подій позначити через р, а іншої – через q, то

Приклад. Мисливець стріляє у мішень, поділенумна чотири області. Імовірність влучення в першу область дорівнює 0,29, у другу – 0,23, у третю – 0,4. Знайти ймовірність того, що мисливець влучить у першу або в другу, або у третю мішень.

Розв’язання. Нехай D – подія, ймовірність якої потрібно знайти, А – мисливець влучить в першу область, В – мисливець влучить в другу область, С – мисливець влучить у третю область. Події А, В і C – несумісні, тому за теоремою про ймовірність суми несумісних подій маємо:

Отже, ймовірність того, що мисливець влучить у першу або в другу, або у третю мішень дорівнює 0,92.

Добутком двох подій А та В називають подію С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробування події А і події В. Добуток позначають або .

Приклад. Імовірність того, що Оленка розв'яже задачу, дорівнює 0,8, а ймовірність того, що її розв'яже Остап – 0,7. Знайти імовірність того, що задачу не розв'яже жоден з учнів.

Розв'язання.

Знайдемо імовірність того, що Олена не розв'яже задачу: .

Знайдемо імовірність того, що Остап не розв'яже задачу: .

Тоді, імовірність того, що жоден учень не розв'яже задачу, знайдемо як добуток імовірностей подій

Попередня тема

На початок

Наступна тема