|
Первісна та її властивості
Функцію  називають первісною для функції
 на заданому проміжку,
якщо для всіх х із цього проміжку
 .
Знаходження функції за її
похідною називають операцією інтегрування
(від лат. integratio – відновлення). Ця операція є оберненою до операції диференціювання.
Наприклад
Для функції f на
проміжку  первісною
є функція  , оскільки для кожного  із цього
проміжку виконується рівність  .
Зауважимо, що, наприклад, функція  має ту
саму похідну, що й функція  , дійсно  . Тому функція є також
первісною для функції  . Зрозуміло, що замість числа 1 можна підставити
будь-яке інше число С, матимемо  . Звідси приходимо до висновку: задача знаходження первісної має безліч розв’язків
у тому випадку, коли хоча
б один з розв’язків можна
знайти.
Теорема (основна властивість первісної). Кожна з первісних для функції
на
заданому проміжку має вигляд  , де – одна із
цих первісних, а  – довільна стала.
Приклад, Оскільки для функції  на проміжку  однією з
первісних є функція – (дійсно ), то загальний вигляд усіх первісних для функції
можна
записати у вигляді 
Невизначений інтеграл
Сукупність усіх первісних для функції називають невизначеним інтегралом
і позначають символом  .
Тут  – підінтегральна
функція, х - змінна інтегрування.
Таким чином:  ,
де F(х) – одна з первісних, а С
– довільна стала.
Приклад, Оскільки – первісна для  , то  .
Таблиця первісних
|
Фуккція 
|
Загальний викляд первісних 
|
|
0
|
C
|
|
1
|
x+C
|
|
 , p – число
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад. Знайти первісні елементарних функцій:
1)  2)  ; 3)  ; 4)  .
Розв’язання.
R
якщо  , то  ;
R
якщо  ;
R
якщо 
R
якщо 
Приклад. Для функції знайдіть первісну, графік якої проходить
через точку 
Розв’язання/
Загальний вигляд первісної для функції є функція  За умовою графік первісної
функції проходить через точку Тому маємо рівність:
Отже, шукана первісна 
Правила знаходження
первісних
Правило 1. Якщо  – первісна для  , а  – первісна для  , то  – первісна для  .
Приклад. Знайти первісну для функції 
Розв'язання.
Якщо 
Правило 2. Якщо – первісна для , а  – стала, то  – первісна для  .
Приклад. Знайти первісну для функції 
Розв’язання.
Якщо  , то 
Правило 3. Якщо – первісна для , а і  – деякі сталі, причому  ,
тоді  – первісна для
функції  .
Приклад. Знайти первісну для функції 
Розв’язання.
Якщо 
|
